[Xác suất thống kê/Chương IV] Phân phối liên tục

CHƯƠNG IV: PHÂN PHỐI LIÊN TỤC

I, Biến ngẫu nhiên liên tục

- Là biến ngẫu nhiên có các giá trị có thể nằm trong 1 khoảng số thực

Ví dụ: Cân nặng của trẻ sơ sinh có thể là bất kì số nào thuộc khoảng 0.5kg - 4.5kg

* Hàm mật độ xác suất (Probability density function - pdf)

- Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục X là hàm f sao cho:

+ f(x) \(\geq\) 0 với tất cả các giá trị x

+ Chuẩn hóa (Normalization): \(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x)dx = 1 \)

+ Xác suất (Probability): \(P( a \leq X \leq b) = \displaystyle \int_{a}^{b} f(x)dx \)

- Thuộc tính:

+ Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục, với bất kỳ số a và b \[P(a \leq x \leq b) = P(a \leq X < b) = P(a < X \leq b) = P(a < X < b)\]

+ Nếu biến X = c, với c là hằng số bất kì thì P(X = c) = 0

* Hàm phân phối tích lũy (Cumulative distribution function - cdf)

- Hàm phân phối tích lũy của biến ngẫu nhiên liên tục X, KH là F(x) được định nghĩa như sao \[F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)dt, \text{ với } -\infty < x < \infty \]

- Lưu ý: Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục với hàm phân phối tích lũy F(x) thì ta có thể dùng công thức sau \[P(a < x < b) = F(b) - F(a)\]

II, Giá trị trung bình và phương sai 

- Giả sử X là biến ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ xác suất f(x)

+ Giá trị trung bình hay giá trị kì vọng của X được định nghĩa như sau \[\varphi = E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} xf(x)dx\]

+ Phương sai của X, kí hiệu là \(\sigma^2\) hay V(X) là \[\sigma^2 = V(X) = \int_{-\infty}^{\infty} (x - \varphi)^2f(x)dx = \int_{-\infty}^{\infty} x^2f(x)dx - \varphi^2 \]

+ Độ lệch chuẩn của X là: \(\sigma = \sqrt{V(X)}\)

III, Phân phối đồng đều liên tục (Continuous Uniform Distribution)

- Trong hàm mật độ xác suất (pdf): \[f(x) = \displaystyle \begin{cases} \frac{1}{b - a}, \text{ nếu } a \leq x \leq b \\ 0 \end{cases}\]

- Giá trị trung bình và phương sai: \[\varphi = E(X) = \frac{b + a}{2}, \text{      }     \sigma^2 = V(X) = \frac{(b - a)^2}{12} \]

- Trong hàm phân phối tích lũy (cdf): \[F(x) = \begin{cases} 0, \text{ nếu } x < a \\ \frac{x - a}{b - a}, \text{ nếu } a \leq x \leq b \\ 1, \text{ nếu } x \geq b \end{cases}\]

IV, Phân phối chuẩn (Normal Distribution)

- Định nghĩa: Phân phối chuẩn, hay còn gọi là phân phối Gauss hoặc đường cong hình chuông, là 1 phân phối xác suất liên tục đối xứng quanh giá trị trung bình (mean) của nó, cũng là trung vị (median) và mốt (mode) của nó. Hình dạng của phân phối chuẩn được đặc trưng bởi đường cong hình chuông của nó.

- Ký hiệu: N(\(\varphi,\sigma^2\))

- Hàm mật độ xác suất (pdf) của phân phối chuẩn được cho bởi công thức: \[f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}.e^{\frac{-(x - \varphi)^2}{2\sigma^2}}\]

Trong đó, + \(\varphi\) là giá trị trung bình 

                  + \(\sigma\) là độ lệch chuẩn

V, Phân phối mũ (Exponential Distribution)

- Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên X cho biết khoảng cách giữa 2 sự kiện liên tiếp. Giả sử rằng trung bình \(\lambda\) > 0 sự kiện xảy ra trong 1 đơn vị thời gian. Khi đó, X là một biến ngẫu nhiên mũ với tham số \(\lambda\) \[f(x) = \lambda^{-\lambda x}, \text{ với } x > 0\]

- Định lý: Nếu 1 biến ngẫu nhiên X có phân phối với với biến \(\lambda\) thì \[\varphi = E(X) = \frac{1}{\lambda}, \text{     } \sigma^2 = V(X) = \frac{1}{\lambda^2} \]

P/s: Bài tập và tài liệu nghiên cứu thêm (nếu cần) được tổng hợp ở link dưới sau:

https://drive.google.com/drive/folders/1o4IdTuypdZ9muSI2PH8PoLMmjvLoawCZ?usp=sharing