[Xác suất thống kê/Chương III] Phân phối rời rạc

CHƯƠNG III: PHÂN PHỐI RỜI RẠC

I, Biến ngẫu nhiên rời rạc

- Là biến ngẫu nhiên có phạm vi vô hạn hữu hạn hoặc đếm được 

Ví dụ: Tung đồng xu 5 lần, giả sử X là số mặt ngửa. Khi đó X = 0, 1, 2, 3, 4 hoặc 5

* Các bước xác định biến ngẫu nhiên rời rạc

B1: Tìm xác suất của các kết quả có thể xảy ra 

B2: Kiểm tra xem mỗi xác suất có nằm trong khoảng 0 đến 1 và tổng của chúng có bằng 1 không 

B3: Tóm tắt kết quả, chúng ta thu được phân phối rời rạc (Probability distribution) của X

* Hàm khối lượng xác suất (Probability mass function - pmf)

- Cho 1 biến ngẫu nhiên rời rạc X với các giá trị \(x_1, x_2, \cdots, x_n\). PMF được xác định là P(X = x) hoặc f(x), với x là giá trị mà X có thể nhận

+ Xác suất: f(\(x_i\)) = P(X = \(x_i\))

+ f(x) \(\geq\) 0 với mọi giá trị x

+ Chuẩn hóa (Normalization): \(\displaystyle \sum_{i=1}^n f(x_i) = 1\)

* Hàm phân phối tích lũy (Cumulative distribution function - cdf)

- Định nghĩa:  F(x) = P( X \(\leq\) x) = \(\displaystyle \sum_{x_i \leq x} f(x_i)\)

- Tính chất:

+ 0 \(\leq\) F(x) \(\leq\) 1

+ Nếu x \(\leq\) y thì F(x) \(\leq) F(y)

II, Trung bình và phương sai (Mean and Variance)

- Giá trị trung bình (mean) hoặc giá trị kì vọng (expected value) của 1 biến ngẫu nhiên rời rạc X với hàm khối lượng xác suất P(X = \(x_i\)) = \(p_i\) với tất cả các giá trị \(x_i\), kí hiệu là \(\varphi\) hoặc E(X): \[\varphi = E(X) = \sum_i x_ip_i\]

- Phương sai (variance) của X, kí hiệu là \(\sigma^2\) hoặc V(X) là \[\sigma^2 = V(X) = E(X - \varphi)^2 = \sum_i x_i^2p_i - \varphi^2\] 

- Độ lệch chuẩn (standard deviation) của X là \(\sigma = \sqrt{V(X)}\)

III, Phân phối rời rạc (Discrete Distributions)

- Biến ngẫu nhiên X có phân phối đều rời rạc nếu mỗi giá trị n trong tập giá trị của nó (range), ta nói, \(x_1, x_2, \cdots, x_n\) có xác suất bằng nhau thì, \[f(x_i) = P(X = x_i) = \frac{1}{n} \]

* Thuộc tính phân phối đều rời rạc

- Cho X là biến ngẫu nhiên đều rời rạc trên các số nguyên liên tiếp a, a + 1,..., b. Giá trị trung bình và phương sai của X khi này

                                                     \(\varphi = E(X) = \frac{b+a}{2}\),               \(\sigma^2 = V(X) = \frac{(b - a + 1)^2 - 1}{12}\)

* Phân phối nhị thức (Binomial distribution)

- 1 thí nghiệm ngẫu nhiên bao gồm n lần phép thử sao cho 

+ Các lần thử là độc lập

+ Mỗi lần thử chỉ dẫn đến 2 kết quả có thể xảy ra là thành công và thất bại

+ Xác suất thành công trong mội lần thử được ký hiệu là p

- Định lý: Cho X là phân phối nhị thức với các tham số p và n. Hàm khối lượng xác suất của X là: \[f(x) = \begin{bmatrix}n\\x\end{bmatrix} p^x(1-p)^{n-x}, x = 0, 1, 2, ..., n\]

- Định lý giá trị trung bình và phương sai: 

+ \(\varphi = E(X) = np\)

+ \(\sigma^2 = V(X) = np(1-p)\)

* Phân phối nhị thức âm (Negative binomial distribution)

- Định nghĩa: Trong 1 loạt các phép thử Bernoulli (các phép thử độc lập với xác suất p không đổi của 1 thành công), để biến ngẫu nhiên X = số phép thử cho đến khi r thành công đầu tiên xảy ra. Khi đó X có phân phối nhị thức âm với tham số p và hàm khối lượng xác suất của X là: \[f(x) = \begin{bmatrix}x - 1\\r - 1\end{bmatrix} (1 - p)^{x - r}p^r; \text{với } x = r, r + 1, r + 2,...\]

- Định lý giá trị trung bình và phương sai:

+ Cho X là phân phối nhị thức âm với biến p và r thì \[\varphi = E(X) = \frac{r}{p} \text{ và } \sigma^2 = V(X) = \frac{r(1 - p)}{p^2} \]

* Phân phối Poisson

- Với một khoảng số thực, giả sử các sự kiện xảy ra ngẫu nhiên trong suốt khoảng đó. Nếu khoảng có thể được phân chia thành các khoảng con có độ dài đủ nhỏ sao cho

+ Xác suất xảy ra nhiều hơn 1 sự kiện trong khoảng con là bằng 0

+ Xác suất xảy ra 1 sự kiện trong một khoảng con là như nhau đối với tất cả các khoảng con và tỷ lệ thuận với độ dài của khoảng con

+ Sự kiện trong mỗi khoảng con độc lập với các khoảng con khác, thì phép thử ngẫu nhiên được gọi là quá trình Poisson

- Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên X = số sự kiện trong một khoảng thời gian có phân phối Poisson với tham số \(\lambda\) và hàm khối lượng xác suất của X là: \[f(x) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!} \text{ với } x = 0, 1, 2, ...\]

- Định lý giá trị trung bình và phương sai: 

+ Nếu X là 1 biến ngẫu nhiên Poisson với biến \(\lambda\) thì \[\varphi = E(X) = \lambda,    \sigma^2 = V(X) = \lambda \]

* Ngoài ra còn phân phối hình học nữa, bạn tham khảo trong tài liệu nha!

P/s: Bài tập và tài liệu nghiên cứu thêm (nếu cần) được tổng hợp ở link dưới sau:

https://drive.google.com/drive/folders/1q-34gpmgCA7gXpRKF4Z2_IByMH4AdtdL?usp=sharing