[Giải tích 2/Chương II] Kĩ thuật trong tích phân

CHƯƠNG II: KĨ THUẬT TRONG TÍCH PHÂN

I, Tích phân từng phần

* Công thức:  

            \(\int f(x)g'(x)dx\) = \(f(x)g(x)\) - \(\int g(x)f'(x)dx\)

            Đặt: u = f(x) và v = g(x)

                    \(\Rightarrow\) du = f'(x)dx và dv = g'(x)dx \(\Rightarrow\) \(\int udv\) = uv - \(\int vdu\)

* Để chọn u và v thì ta dùng phương pháp LIATE:

- L - Logarithmic functions (Hàm logarit)

- I - Inverse trigonometric functions  (Hàm lượng giác ngược)

- A - Algebra functions (Hàm đa thức)

- T - Trigonometric functions (Hàm lượng giác)

- E - Exponential functions (Hãm mũ)

Ví dụ: 

a) \(\int xsinxdx\)

\(\Rightarrow\) \(\begin{cases} x & \text{là hàm đại số (đa thức)} \\ sinx & \text{là hàm lượng giác }\end{cases} \)

\(\Rightarrow\) Theo thứ tự LIATE \(\Rightarrow\) \(\begin{cases} u = x \\ v = sinx \end{cases}\) \(\Rightarrow\) \(\begin{cases}du = dx \\ dv = d(-cosx) \end{cases}\)

\(\Rightarrow\) \(\int udv = uv - vdu \)

\(\Leftrightarrow\) \(\int xd(-cosx)\) = - cosx.x + \(\int cosxdx\) = -cosx + sinx + C

b) \(\int e^{x}sinxdx\) = \(\int sinxd(e^{x})\) = \(e^{x}sinx\) - \(e^{x}cosxdx\)   (1)

mà \(\int e^{x}cosxdx\) = \(e^{x}cosx\) + \(\int e^{x}sinxdx\)   (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

\(\int e^{x}sinxdc\) = \(e^{x}sinx\) - \(e^{x}cosx\) - \(\int e^{x}sinxdx\)

\(\Leftrightarrow\) \(2\int e^{x}sinxdx\) = \(e^{x}sinx\) - \(e^{x}cosx\)

\(\Leftrightarrow\) \(\int e^{x}sinxdx\) = \(\frac{1}{2}e^{x}(sinx - cosx)\)

II, Phương pháp số (Numerical Integration)

* Lưu ý: \(\bigtriangleup x = \frac{b-a}{n}\) 

1, Phương pháp xấp xỉ mút trái (Left endpoint method) 

\(\int_a^b f(x)dx\) \(\approx \bigtriangleup x\) [\( f(x_{0}) + f(x_{1}) + ... + f(x_{n-1}) \) ]

2. Phương pháp xấp xỉ mút phải (Right endpoint method)

\(\int_a^b f(x)dx\) \(\approx \bigtriangleup x\) [\( f(x_{1}) + f(x_{2}) + ... + f(x_{n}) \) ]

3, Phương pháp trung điểm (Midpoint method)

\(\int_a^b f(x)dx\) \(\approx \bigtriangleup x\) [\( f(m_{1}^{*}) + f(m_{2}^{*}) + ... + f(m_{n}^{*}) \) ], với \(m_{i}^{*}\) là trung điểm của đoạn giữa 2 x

4, Phương pháp xấp xỉ hình thang (Trapezoidal method) (Nối các điểm trên đồ thị)

\(\int_a^b f(x)dx\) \(\approx \frac{\bigtriangleup x}{2}\) [\( f(x_{0}) + 2f(x_{1}) + ... + 2f(x_{n-1}) + f(x_{n}) \) ]

5, Phương pháp Simpson (Simpson method) (Chỉ áp dụng với n chẵn) 

\(\int_a^b f(x)dx\) \(\approx \frac{\bigtriangleup x}{3}\) [\( f(x_{0}) + 4f(x_{1}) + 2f(x_{2}) + ... + 2f(x_{n-2}) + 4f(x_{n-1}) + f(x_{n}) \) ]

III, Tích phân suy rộng (Improper integrals)

1, Tích phân suy rộng loại 1 (Type 1)

+ Nếu \(\int_a^t f(x)dx\) tồn tại \(t \geq a\), khi đó: \(\int_a^{\infty} f(x)dx\) = \(\displaystyle \lim_{t\to\infty}\) \(\int_a^t f(x)dx\)

+ Nếu \(\int_t^b f(x)dx\) tồn tại \(t \leq a\), khi đó: \(\int_{-\infty}^{b} f(x)dx\) = \(\displaystyle \lim_{t\to -\infty}\) \(\int_t^b f(x)dx\)

* 2 tích phân suy rộng \(\int_a^{\infty} f(x)dx\) và \(\int_{-\infty}^{b} f(x)dx\) gọi là:

    + Hội tụ (Convergent) nếu hữu hạn

    + Phân kỳ (Divergent) nêu vô cùng hoặc không tồn tại

* Nếu cả 2 \(\int_a^{\infty} f(x)dx\) và \(\int_{-\infty}^{a} f(x)dx\) đều hội tụ thì:

              \(\int_{-\infty}^{\infty} f(x)dx\) = \(\int_{-\infty}^{a} f(x)dx\) + \(\int_a^{\infty} f(x)dx\)

* Phương pháp giải bài tập phần này:

    * Cách 1: Tính nguyên hàm \(\int f(x)dx = F(x) \) sau đó tính \(\displaystyle \lim_{t\to\infty} F(x)|_{a}^{t}\)

    * Cách 2: Dùng tiêu chuẩn so sánh với \(\frac{1}{x^{p}}\)

               Tiêu chuẩn so sánh: Nếu \(f(x) \geq g(x) \geq 0\), \(\forall x \geq a\)

                * Nếu \(\int_a^{\infty} f(x)dx\) hội tụ thì \(\int_a^{\infty} g(x)dx\) cũng hội tụ

                * Nếu \(\int_a^{\infty} g(x)dx\) phân kỳ thì \(\int_a^{\infty} f(x)dx\) cũng phân kỳ

2, Tích phân suy rộng loại 2 (Type 2)

+ Giả sử f liên tục [a;b] và gián đoạn tại b, khi đó: 

                            \(\int_a^b f(x)dx\) = \(\displaystyle \lim_{t\to b^{-}}\) \(\int_a^t f(x)dx\)

+ Giả sử f liên tục (a;b] và gián đoạn tại a, khi đó:

                                \(\int_a^b f(x)dx\) = \(\displaystyle \lim_{t\to a^{+}}\) \(\int_t^b f(x)dx\)

+ 2 tích phân này gọi là hội tụ khi lim hữu hạn, phân kỳ khi lim vô cùng hoặc không tồn tại (tương tự loại 1)

+ Nếu f không liên tục (gián đoạn) tại c, thỏa mãn a < c < b và cả 2 tich phân suy rộng \(\int_a^c f(x)dx\) và \(\int_c^b f(x)dx\) hội tụ thì khi đó:

                                \(\int_a^b f(x)dx\) =  \(\int_a^c f(x)dx\) +  \(\int_c^b f(x)dx\)

* Tiêu chuẩn so sánh đúng với cả loại 1 và loại 2 

Ví dụ: Xét I = \(\int_1^\infty \frac{|cosx|}{x^{2}}dx\) có hội tụ?
Có: \(0 \leq \frac{|cosx|}{x^{2}} \leq \frac{1}{x^{2}} \)

mà: \(\int_1^\infty \frac{dx}{x^{2}}\) hội tụ \(\Rightarrow\) I = \(\int_1^\infty \frac{|cosx|}{x^{2}}dx\) hội tụ

Bài tập:

Bài 1: Tính tích phân sau

Bài 2: Tính tích phân sau

Bài 3: 

Bài 4:

P/s: Đáp án của bài tập và tài liệu nghiên cứu thêm (nếu cần) được tổng hợp ở link dưới sau:

https://drive.google.com/drive/folders/1ebyv8L4g5EqJDMdXDPBHHYO-glFNoxWR?usp=sharing

Video bổ trợ bài học này