[Giải tích 1/Chương III] Đạo hàm

CHƯƠNG III: ĐẠO HÀM

I, Định nghĩa 

- Đạo hàm (Derivatives) của hàm số f tại a thì:

                \( f'(a) = \displaystyle \lim_{h \rightarrow 0}  \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \)   (1)

  hoặc     \( f'(a) = \displaystyle \lim_{x \rightarrow a}  \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \)   (2)

* Chú ý: Đạo hàm tồn tại khi và chỉ khi có (1) và (2) hay \(\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0^{+}}  \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \) = \(\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0^{-}}  \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \)

* Phương trình tiếp tuyến của đths y=f(x), tại điểm (a;f(a)):  y = f'(a)(x-a) + f(a)

II, 1 số tính chất khi coi đạo hàm là hàm số

- Tại điểm x bất kì, ta có: \( f'(a) = \displaystyle \lim_{h \rightarrow 0}  \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \)

  Do đó, \(f'(a)\) là hàm số theo biến x

* 1 số ký hiệu cho đạo hàm:

     \(f'(a)\) = \(y'\) = \(\frac{dy}{dx}\) = \(\frac{df(x)}{x}\) = \(Df(x)\)

* Hàm f được gọi là khả vi (Differentiable) tại a nếu f'(a) tồn tại

    - Nếu f khả vi tại mọi điểm trong khoảng mở D, ta nói f khả vi / D

* Định lý: + f khả vi \(\Rightarrow\) f liên tục

                   + f không khả vi \(\Rightarrow\) f không liên tục (gián đoạn)

* Đạo hàm cấp 2: Xét \(f''(x)\) = \((f'(x))'\) - được gọi là đạo hàm cấp 2 của f

Kí hiệu: \(f''(x)\) = \(\frac{d}{dx}(\frac{d}{x}f(x))\) = \(\frac{d^{2}}{dx^{2}}f(x)\)

Tương tự, đạo hàm cấp n của f là: \(f^{n}(x)\) = \(\frac{d^{n}}{dx^{n}}f(x)\)

III, 1 số quy tắc tính đạo hàm

IV, Sử dụng đạo hàm để tính toán tốc độ thay đổi (Rates of change)

* Velocity: Vận tốc

* Acceleration: Gia tốc

- Cho hàm S(t) tại t \(\Rightarrow\) + v(t) = S'(t)

                                        + a(t) = v'(t) = S''(t)

* Lưu ý: Vận tốc là v(t) nhưng tốc độ là |v(t)| (do vận tốc có chiều dương và chiều âm còn tốc độ chỉ có duy nhất giá trị dương)

V, Đạo hàm hàm hợp (The chain rule)

- Giả sử, F(x) = f(g(x)), khi đó: \(\frac{dF(x)}{dx} = \frac{df}{dg}.\frac{dg}{dx}\)

Ví dụ: Tính đạo hàm của f(x) = g(sin3x)

\(\Rightarrow\) \(\frac{df(x)}{dx}\) = \(\frac{dg(x)}{d(sin3x)}\).\(\frac{d(sin3x)}{dx}\)

                 = g'(sin3x).(3x)'.cos3x

                 = g'(sin3x).3.cos3x

VI, Đạo hàm hàm ẩn (Implicit Differentiation)

Giả sử F(x,y) = 0, khi giải ra y = f(x). Ta nói, y là hàm ẩn của x xác định bởi ...

Chú ý: Nghiệm y = f(x) có thể tồn tại nhưng không tìm được

Ví dụ: xcosy + y =0

\(\Rightarrow\) Việc xác định y = f(x) là không thể mặc dù nó có thể tồn tại

* Nhu cầu: Tính y'(x)

* Cách làm: Từ F(x,y) = 0, lấy đạo hàm theo x => Giải ra y'

Ví dụ: Xét F(x,y): \(x^{2} + y^{2} =25 \). Tính \(\frac{dy}{dx}\) hay y'

      \(\frac{dF(x,y)}{dx}\) = \(\frac{d(x^{2}+y^{2})}{dx}\) = \(\frac{d(25)}{dx}\)

\(\Leftrightarrow\) \(\frac{d(x^{2})}{dx}\) + \(\frac{d(y^{2})}{dx}\) = \(\frac{d(25)}{dx}\)

\(\Leftrightarrow\) 2x + 2y'y = 0

\(\Leftrightarrow\) y'.y = -x 

\(\Leftrightarrow\) \(y' = \frac{-x}{y}\)

Bài tập:

Bài 1:

Bài 2:

Bài 3:

Bài 4:

P/s: Đáp án của bài tập và tài liệu nghiên cứu thêm (nếu cần) được tổng hợp ở link dưới sau:

https://drive.google.com/drive/folders/1jYj0YmQApTJG4EKBalgFhf0kmgy1ai2j?usp=sharing

Video bổ trợ bài học này