[Giải tích 1/Chương IV] Ứng dụng đạo hàm & Nguyên hàm

CHƯƠNG IV: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀ NGUYÊN HÀM

I, Xấp xỉ tuyến tính và phép tính vi phân (Linear approximations and Differentials)

1, Xấp xỉ tuyến tính (Linear approximations)

- Nhắc lại, với hàm f khả vi tại a (có đạo hàm tại a) thì tiếp tuyến tại điểm (a,f(a)) của đồ thị có phương trình:        y = f'(a)(x-a) + f(a)

Ví dụ: \(f(x)\) = \(x^{2}\). Xét x=3; f(3)=9; f'(3)=6

\(\Rightarrow\) y = 6x - 9 (phương trình tiếp tuyến)

\(\Rightarrow\) Nhận xét: Khi x gần tới 3 thì \(y = x^{2} \approx 6x - 9\) tại \(x \approx 3\) 

* Tổng quát: \(f(x) \approx f'(a)(x-a) + f(a)\), khi x gần a

* Định nghĩa: L(x) = f'(a)(x-a) + f(a) là xấp xỉ tuyến tính của hàm f khi x \(\rightarrow\) a

* Ý nghĩa: f(x) có thể phức tạp nên tìm khó, nhưng bằng cách làm trên \(f(x) \approx L(x)\) là đa thức bậc nhất (đơn giản)

* Chú ý:  \(f(x) \approx L(x)\) khi x gần a (x \(\approx\) a) (L(x) phụ thuộc vào a)

Ví dụ: Tính gần đúng sin(0.02) bằng cách chọn f(x), a, L(x) thích hợp

Vì 0.02 \(\approx\) 0 nên ta chọn a = 0, f(x) = sinx

Ta có: L(x) = f'(a)(x-a) + f(a)

                   = (sin0)'(x-0) + sin0

                   = cos0.(x-0) + sin0

                   = x

\(\Rightarrow f(x)\) = sinx \(\approx\) x khi x gần 0

\(\Rightarrow f(0.02) = sin0.02 \approx 0.02 \)

2. Phép tính vi phân (Differentials)

- Cho hàm số khả vi y = f(x) và biến \(dx \neq 0\), ta đặt dy = f'(x)dx

\(\Rightarrow\) dy = f'(x)dx, là vi phân

* Chú ý: + Mối quan hệ dx và x hay dy và y không liên quan gì đến nhau (chỉ là cách kí hiệu)

                + dy là hàm 2 biến phụ thuộc vào x và dx

Ví dụ: Cho f(x) = \(x^{3} + 2x\), tính dy khi x = 2, dx = 0.1

\(\Rightarrow\) \(\frac{df(x)}{dx}\) = \(3x^{2}+2\) \(\Leftrightarrow\) df(x) = dy = \((3x^{2}+2)dx\) = 1.4

* Định lý: Khi x thay đổi từ a đến a+dx với khoảng nhỏ dx, khi đó, \(dy \approx \bigtriangleup y\),

với, \(\bigtriangleup y = f(a+dx) - f(a) \)

II, GTLN và GTNN (Maxima and Minima)

- Định nghĩa: Ta nói f đạt GTLN (NN) tại c nếu \(f(x) \leq f(c)\) hoặc (\(f(x) \geq f(c)\)) 

\(\forall x \epsilon D\)

\(\Rightarrow\) Số f(c) được gọi là GTLN (NN) của f(x) trên D

- Định nghĩa: Khi có khoảng (a,b) sao cho (chứa c):

\(f(x) \leq f(c)\) hoặc (\(f(x) \geq f(c)\)) \(\forall x \epsilon (a,b)\)

Ta nói, f đạt cực tiểu hoặc cực đại (địa phương) tại c

\(\Rightarrow\) f(c) gọi là giá trị cực tiểu hoặc cực đại

* Định lý: Cho f là hàm liên tục trên [a,b], khi đó f đạt GTLN, GTNN trong [a,b]. 

\(\forall  c,d \epsilon [a;b]\) sao cho f(c), f(d) đạt GTLN (NN)

* Định lý Fermat: Nếu f đạt cực trị tại c và f'(c) tồn tại thì f'(c) = 0

Nhận xét: Nếu f đạt cực trị tại c thì f'(c) = 0 hoặc f'(c) không xác định

* Định nghĩa: Ta gọi tất cả số c làm cho f'(c) = 0 hoặc f'(c) không xác định là giá trị tới hạn (critical number) của hàm số

* Cách tìm GTLN, GTNN của hàm khả vi trên [a;b]

        Bước 1: Tìm tất cả các giá trị \(\forall  c  \epsilon  (a;b)\) sao cho f'(c) = 0 hoặc f'(c) không xác định

        Bước 2: So sánh f(a), f(b), f(c) để tìm ra GTLN (NN)

III, Định lý giá trị trung bình (The mean value theorem)

* Định lý Rolle: Cho hàm f thỏa mãn các điều kiện:

                            + f liên tục trong đoạn [a;b]

                            + f khả vi trong khoảng (a;b)

                            + f(a) = f(b)

\(\Rightarrow\) \(\forall c \epsilon (a;b)\) sao cho f'(c) = 0

* Định lý giá trị trung bình: Cho hàm f thỏa mãn các điều kiện

                         + f liên tục trong đoạn [a;b]

                         + f khả vi trong khoảng (a;b)

\(\Rightarrow\) \(\forall c \epsilon (a;b)\) sao cho \(f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a}\)

Ví dụ: Cho f(0) = -3 và \(f'(x) \geq 5 \) \(\forall x \epsilon R\)

Áp dụng ĐL giá trị trung bình: f(b) - f(a) = f'(c)(b-a)

                                   \(\Leftrightarrow\) f(2) - f(0) = f'(x)(2-0)

                                   \(\Leftrightarrow\) f(2) = -3 + 2f'(x)    (1)   

         mà \(f'(x) \geq 5\) \(\Rightarrow\) (1) \(\Leftrightarrow\) \(f(2) \geq 7\)

* Định lý: Nếu f'(x) = 0 \(\forall x \epsilon (a;b)\) thì f là hằng số trên (a,b) (do theo công thức đạo hàm của hằng số thì bằng 0)

\(\Rightarrow\) Hệ quả: Nếu f'(x) = g'(x) \(\forall x \epsilon (a;b)\) thì f(x)-g(x) là hằng số trên (a;b) \(\Rightarrow\) f(x) = g(x) + c, với c là hằng số

IV, Đạo hàm và khảo sát đồ thị hàm số (Derivatives and the Shapes of Graphs)

* Định lý: Nếu \(f' \leq 0\)(\(f' \geq 0\)) dấu "=" xảy tại điểm biểu diễn thì f đồng biến (nghịch biến)

* Định lý: Giả sử c là 1 điểm tới hạn của f (f'(x) = 0 hoặc f'(x) không xác định)

        + Nếu f đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua c, ta có c là điểm cực tiểu

        + Nếu f đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua c, ta có c là điểm cực đại

* Định nghĩa: Nếu đths hàm f nằm toàn bộ bên trên đối với các tiếp tuyến, ta nói f là lõm lên (concave upward), ngược lại, nằm toàn bộ bên dưới thì là lõm xuống (concave downward)

* Định lý: Nếu f'' > 0 \(\forall x \epsilon I\), ta nói f lõm lên \(\forall x \epsilon I\) (trên I)

                  Nếu f'' < 0 \(\forall x \epsilon I\), ta nói f lõm xuống \(\forall x \epsilon I\) (trên I)     

* Định nghĩa: Nếu f''(\(x_{0}\)) = 0 hoặc f''(\(x_{0}\)) không xác định và f'' đổi dấu khi x đi qua \(x_{0}\) thì ta nói điểm có tọa độ (\(x_{0}\),f(\(x_{0}\))) là điểm uốn (Inflection point)

* Định lý:

+ c là điểm cực tiểu nếu f'(c) = 0 và f''(c) > 0

+ c là điểm cực đại nếu f'(c) = 0 và f''(c) < 0

V, Phương pháp Newton (Newton method)

        Bước 1: Đoán giá trị r (gần đúng) là nghiệm của f(x) = 0

        Bước 2: Chọn điểm khởi tạo \(x_{0}\)

        Bước 3: Tính dãy (\(x_{n}\)) theo công thức: 

                       

Ví dụ: Dùng phương pháp Newton tính gần đúng \( \sqrt[6]{2}\)

- \( \sqrt[6]{2}\) là nghiệm của \(x^{6} - 2 = 0\)

- Đoán \( \sqrt[6]{2} \approx 1\)

- Xét \(f(x) = x^{6} - 2\) \(\Rightarrow f'(x) = 6x^{5}\)

- AD phương pháp Newton cho x1 = 1

\(\Rightarrow\) x2 = 1,16666667

       x3 = 1,12644368

       x4 = 1,12249707

       x5 = x6 \(\approx\) 1,12246205

\(\Rightarrow\) \( \sqrt[6]{2}\) \(\approx\) 1,12246205

VI, Nguyên hàm (Antiderivatives)

Định nghĩa: Cho F(x) thỏa mãn trên tập I thỏa mãn F'(x) = f(x) thì gọi là nguyeem hàm của f(x) trên tập I

Kí hiệu: F(x) = \(\int f(x)dx \)

Nhận xét: Nguyên hàm của f(x) trên tập I có dạng: F(x) + C, với C là hằng số bất kì 

* Công thức nguyên hàm:

Ví dụ: Cho hàm gia tốc a(t) = 6t + 4; vận tốc ban đầu v(0) = -6 cm/s; s(0) = 9 cm. Tìm s(t)

Có: a(t) = v'(t) = s''(t)

\(\Rightarrow\) v(t) = \(\int a(t)dt \) = \(3t^{2} + 4t + C\)

    mà v(0) = -6 \(\Leftrightarrow\) C = -6

\(\Rightarrow\) v(t) = \(3t^{2} + 4t - 6\)

\(\Rightarrow\) s(t) = \(\int v(t)dt \) = \(t^{3} + 2t^{2} - 6t + C\)

mà s(0) = 9 \(\Leftrightarrow\) C = 9

\(\Rightarrow\) s(t) = \(t^{3} + 2t^{2} - 6t + 9\)

Bài tập:

Bài 1: Tìm GTLN (NN) (nếu có) của các hàm số sau:

Bài 2: Cho đồ thị hàm số y = f(x). Hãy tìm cực đại và cực tiểu của hàm số

Bài 3:

Bài 4:

P/s: Đáp án của bài tập và tài liệu nghiên cứu thêm (nếu cần) được tổng hợp ở link dưới sau:

https://drive.google.com/drive/folders/136Sva49R4Fng-ZE4b3dqjOGc5e3xtnyQ?usp=sharing

Video bổ trợ cho bài học này