[Đại số tuyến tính/Chương IV] Không gian Vectơ

CHƯƠNG IV: KHÔNG GIAN VECTƠ

I, Không gian con và bao tuyến tính (Subspaces and Spanning)

- Định nghĩa: 1 tập U là con của \(R^n\) gọi là không gian con. KH: U \(\subset R^n\)

    Nếu thỏa mãn điều kiện: 

            + \(\overrightarrow{0}\) \(\epsilon \) U

            + \(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}\) \( \epsilon \) U \(\Rightarrow\) \(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\) \( \epsilon U\)

            + \(\overrightarrow{u}\) \(\epsilon \) U \(\Rightarrow\) \(k\overrightarrow{u}\) \(\epsilon \) U ( k \(\epsilon \) R)

* Chú ý: Tập U = { \( (x^n, y^m, z^t)^T \) | x, y, z \(\epsilon\) R }

               Tập này chỉ là không gian con khi và chỉ khi m, n, t là các số lẻ 

* Chú ý: Trong \(R^3\), không gian con là những đường thẳng hoặc mặt phẳng đi qua gốc tọa độ (để có thể chứa điểm \(\overrightarrow{0}\) = {0;0;0})

* Định nghĩa bao tuyến tính (Spanning sets) 

- Xét \(\overrightarrow{X_{1}},\overrightarrow{X_{2}},...,\overrightarrow{X_{k}}\) là các vectơ trong \(R^n\). Khi đó, với các số thực \(t_{1},t_{2},...,t_{k}\) bất kỳ, ta gọi tổng: \[t_{1} \overrightarrow{X_1} + t_{2} \overrightarrow{X_2} + \dots + t_{k} \overrightarrow{X_k} \] là tổ hợp tuyến tính (Linear combination) 

- Ta gọi: Span{\(\overrightarrow{X_{1}},\overrightarrow{X_{2}},...,\overrightarrow{X_{k}}\)} = Tập tất cả các tổ hợp tuyến tính của \(\overrightarrow{X_{1}},\overrightarrow{X_{2}},...,\overrightarrow{X_{k}}\) là bao tuyến tính của \(\overrightarrow{X_{1}},\overrightarrow{X_{2}},...,\overrightarrow{X_{k}}\)

Ví dụ:  Cho K=1 và \(\overrightarrow{X_{1}}\) = \( (1;1)^T \)

Khi đó, Span{ \(\overrightarrow{X_{1}}\) } = { \(K\overrightarrow{X_{1}}\) | K \(\epsilon\) R }

            = { \(\begin{bmatrix} K \\ K \end{bmatrix} \) | K \(\epsilon\) R }

            = { \(\begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix} \) | x = y; x, y \(\epsilon\) R }

\(\Rightarrow\) Span{ \(\overrightarrow{X_{1}}\) } là tập hợp của đường thẳng y = x

* Định lý: Span{\(\overrightarrow{X_{1}},\overrightarrow{X_{2}},...,\overrightarrow{X_{k}}\)} là không gian con của \(R^n\) 

        Ta gọi: Span{\(\overrightarrow{X_{1}},\overrightarrow{X_{2}},...,\overrightarrow{X_{k}}\)} là không gian con sinh bởi \(\overrightarrow{X_{1}},\overrightarrow{X_{2}},...,\overrightarrow{X_{k}}\)

        Tập {\(\overrightarrow{X_{1}},\overrightarrow{X_{2}},...,\overrightarrow{X_{k}}\)} gọi là tập sinh của không gian này

II, Độc lập tuyến tính và số chiều (Linearly independence and dimension)

- Định nghĩa: Tập {\(\overrightarrow{X_{1}},\overrightarrow{X_{2}},...,\overrightarrow{X_{k}}\)} gọi là độc lập tuyến tính nếu: 

                  \(t_{1} \overrightarrow{X_1} + t_{2} \overrightarrow{X_2} + \dots + t_{k} \overrightarrow{X_k} = 0 \) thì \(t_1 = t_2 = ... = t_k = 0 \)

Ví dụ: {(1;0;-2),(2;1;0),(1;1;2)}

Xét \(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ -2 & 0 & 2 \end{bmatrix}\)

\(\rightarrow\) \(\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \end{bmatrix}\) \(\rightarrow\) \(\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & -2 \end{bmatrix}\) \(\rightarrow\) \(\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\)

\(\Rightarrow\) Hạng của ma trận là 2; số ẩn là 3 \(\Rightarrow\) Nghiệm tự do là 3 - 2 = 1 

\(\Rightarrow\) A không độc lập tuyến tính (do để là độc lập tuyến tính thì tất cả các nghiệm phải bằng 0 mà đây lại có nghiệm tự do hay là nghiệm có thể nhận bất kì giá trị nào)

* Chú ý: 

+ Tập {\(\overrightarrow{X_{1}},\overrightarrow{X_{2}},...,\overrightarrow{X_{k}}\)} là độc lập tuyến tính \(\Leftrightarrow\) Không có vectơ nào biểu diễn được theo các vectơ còn lại

+ Tập {\(\overrightarrow{X_{1}},\overrightarrow{X_{2}},...,\overrightarrow{X_{k}}\)} là độc lập tuyến tính 

    \(\Leftrightarrow\) Hệ phương trình: \(\begin{bmatrix}\overrightarrow{X_1} & \overrightarrow{X_2} & \cdots & \overrightarrow{X_k} \end{bmatrix}\) . \(\begin{bmatrix}t_1 \\ t_2 \\ \vdots \\ t_k \end{bmatrix}\) = 0

    Có nghiệm duy nhất \(t_1 = t_2 = ... = t_k = 0 \)

+ Khi k = n thì hệ độc lập {\(\overrightarrow{X_{1}},\overrightarrow{X_{2}},...,\overrightarrow{X_{k}}\)} độc lập tuyến tính

 

\(\Leftrightarrow\) \(\begin{bmatrix}\overrightarrow{X_1} & \overrightarrow{X_2} & \cdots & \overrightarrow{X_n} \end{bmatrix}\) . \(\begin{bmatrix}t_1 \\ t_2 \\ \vdots \\ t_n \end{bmatrix}\) = 0

      Có nghiệm duy nhất \(t_1 = t_2 = ... = t_n = 0 \)

\(\Leftrightarrow\)\(\det \begin{bmatrix} \overrightarrow{X_1} & \overrightarrow{X_2} & \cdots & \overrightarrow{X_n} \end{bmatrix}\) \(\neq 0\)

 

* Định lý: Cho A là ma trận vuông, các điều sau là tương đương:

+ A khả nghịch

+ Các cột của A là độc lập tuyến tính 

+ Các dòng của A là độc lập tuyến tính

* Cơ sở (Basis)

- Cho U là không gian con của \(R^n\). Tập {\(\overrightarrow{X_{1}},\overrightarrow{X_{2}},...,\overrightarrow{X_{m}}\)} gọi là cơ sở của U nếu: 

    + {\(\overrightarrow{X_{1}},\overrightarrow{X_{2}},...,\overrightarrow{X_{m}}\)} là độc lập tuyến tính

    + U = Span{\(\overrightarrow{X_{1}},\overrightarrow{X_{2}},...,\overrightarrow{X_{m}}\)}

Ví dụ: Chứng minh {(1;0),(1;1)} là cơ sở của \(R^2\)

Xét \(A = \begin{bmatrix} 1 & 0\\1 & 1 \end{bmatrix}\) \(\rightarrow\) \(A = \begin{bmatrix} 1 & 0\\0 & 1 \end{bmatrix}\) \(\Rightarrow\) \(det = 1 \neq 0\)

\(\Rightarrow\) \(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\) độc lập tuyến tính

Giả sử: U = (x;y) = Span{(1;0),(1;1)}

            \(\Rightarrow\) (x;y) = a(1;0) + b(1;1)

            \(\Rightarrow\) \(\begin{cases} x = a + b \\ y = b \end{cases}\) \(\Rightarrow\) \(\begin{cases} a = x - y \\ b = y \end{cases}\)

            \(\Rightarrow\) (x;y) = (x-y)(1;0) + y(1;1) = Span{(1;0),(1;1)} (đpcm)

      \(\Rightarrow\) {(1;0),(1;1)} là cơ sở của \(R^2\)

* Số chiều (Dimension)

- Định lý: + 2 cơ sở của cùng 1 không gian có cùng số phần tử 

                + Số phần tử trong cơ sở của U gọi là số chiều của U, KH: dim(U)

Ví dụ: dim\(R^2\) = 2, dim\(R^3\) = 3, dim\(R^n\) = n 

- Định lý: + Tập hợp lớn nhất (nhiều phần tử nhất) các vectơ độc lập tuyến tính trong U là cơ sở của U

                + Số chiều của U đồng thời là số lớn nhất các vectơ độc lập tuyến tính trong U

Ví dụ: dim\(R^3\) = 3, mọi bộ số 4 vectơ trong \(R^3\) đều phụ thuộc tuyến tính

- Định lý: Cho U là không gian con của \(R^n\). Khi đó:

        + U có cơ sở và dim(U) \(\leq\) n

        + Mọi tập độc lập tuyến tính trong U đều có thể mở rộng (bằng cách thêm vào các phần tử) để được cơ sở của U

        + Nếu U = Span {\(\overrightarrow{X_{1}},\overrightarrow{X_{2}},...,\overrightarrow{X_{n}}\)} và \(\overrightarrow{X_{1}},\overrightarrow{X_{2}},...,\overrightarrow{X_{n}}\) phụ thuộc tuyến tính thì ta có thể bỏ bớt 1 số vectơ để thu được cơ sở của U

* Chú ý: Mọi vectơ khác 0 đều độc lập tuyến tính (Khi đứng 1 mình)

III, Hệ véctơ trực giao (vuông góc) (Orthogonality)

- Định nghĩa:    

+ Tập {\(\overrightarrow{X_{1}},\overrightarrow{X_{2}},...,\overrightarrow{X_{k}}\)} gọi là trực giao nếu mỗi cặp vectơ bất kì nhân với nhau bằng 0

+ Nếu tập trên được gọi là trực giao rồi mà ||\(\overrightarrow{X_i}\)|| = 1, với i = 1,2,...,k thì tập này dược gọi là trực chuẩn

+ Nếu muốn thành trực chuẩn thì mỗi vectơ nhân với \(\frac{1}{||\overrightarrow{u}||}\) vectơ tương ứng

* Định lý: Mọi hệ trực giao thì đều là độc lập tuyến tính

IV, Hạng của ma trận

1, Không gian cột và Không gian dòng (Column Space and Row Space)

- Định nghĩa không gian cột: KH: col(A) là không gian sinh bởi các vectơ cột của A

- Định nghĩa không gian dòng: KH: row(A) là không gian sinh bởi các vectơ dòng của A

* Thuật toán để tìm cơ sở và số chiều:

- Cho ma trận A đưa về dạng ma trận bậc thang R

+ Các dòng của R và chứa 1-leading thì sẽ là cơ sở của không gian row(A)

+ Các cột của A tương ứng với cột trong R mà chứa 1-leading sẽ là cơ sở của col(A)

* Nhận xét: dim(col(A)) = dim(row(A)) = rank(A)

    Chú ý: col(A) và row(A) là 2 không gian khác nhau

2, Không gian không (không gian nghiệm) và không gian ảnh (Null Space and Image Space)

- Định nghĩa không gian không (Null Space): Không gian không của A, KH: null(A), là không gian các nghiệm của HPT AX = 0

- Định nghĩa không gian ảnh (Image Space): Không gian ảnh của A, KH: im(A), là không gian các vectơ có dạng AX, với X \(\epsilon\) \(R^n\), A cỡ m x n 

* Chú ý: im(A) = col(A)

* Định lý: Cho A là ma trận cỡ m x n. Hạng của A, rank(A) = r thì:

+ dim(row(A)) = dim(col(A)) = dim(im(A)) = r

+ dim(null(A)) = n - r (bằng số biến tự do)

* Chú ý: Nếu m \(\neq\) n thì rank(A) lớn nhất là số nhỏ nhất trong 2 số m và n 

* dim(im(A)) + dim(null(A)) = n (n là số cột của ma trận A)

Bài tập:

Bài 1: Chứng minh tập sau là độc lập tuyến tính trong \(R^3\)

Bài 2: Tìm cơ sở của tập sau

Bài 3: Tìm hạng của ma trận A sau đó tìm cơ sở row(A) và col(A)

Bài 4: Tìm cơ sở null(A) và im(A) sau đó tìm số chiều của chúng

P/s: Đáp án của bài tập và tài liệu nghiên cứu thêm (nếu cần) được tổng hợp ở link dưới sau:

https://drive.google.com/drive/folders/1JRwHHBBOmj4HVNRwbrZ1Y3PLcqJdxOdV?usp=sharing

Video bổ trợ bài học này