[Đại số tuyến tính/Chương III] Định thức

CHƯƠNG III: ĐỊNH THỨC VÀ CHÉO HÓA

I, Khai triển đối hệ số (Cofactor expansion)

- Cho A = [ \(a_{ij}\) ] là ma trận n x n

    + \(A_{ij}\) là (n-1)(n-1) ma trận thu được bằng cách xóa đi hàng \(i_{th}\) và cột \(j_{th}\)

    + Đối hệ số thứ (i;j) của A (Cofactor): \(c_{ij}(A)\) = \((-1)^{i+j}det( A_{ij}) \)

Ví dụ: Tính đối hệ số (2;3) của ma trận \(A = \begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} \) là:

\(\Rightarrow\) \(c_{23}\) = \((-1)^{2+3}det( \begin{bmatrix} 1 & 2 \\7 & 8 \end{bmatrix}) \) = -(8 - 14) = 6

* Determinants (Định thức)

- Cho A = [ \(a_{ij}\) ] là ma trận n x n thì:

       \( det(A) = |A| = a_{11}c_{11}(A) + a_{12}c_{12}(A) + ... + a_{1n}c_{1n}(A) \)

    Với, \( c_{11}(A), c_{12}(A),..., c_{1n}(A) \) là các đối hệ số - Đây gọi là khai triển đối hệ số với dòng thứ nhất trong đó các giá trị a ở trên ứng với các hệ số dòng 1 của ma trận bất kì.

Ví dụ: Tính định thức của ma trận \(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}\)

= \(1.(-1)^{1+1}\begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9\end{bmatrix}\) + \(2.(-1)^{1+2}\begin{bmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9\end{bmatrix}\) + \(3.(-1)^{1+3}\begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 7\end{bmatrix}\)

= 0

* Định lý: Ta có thể tính định thức bằng cách khai triển theo bất kì dòng hoặc cột nào

* Lưu ý: 

+ Tốt nhất nên khai triển theo hàng và cột có nhiều số 0

+ \((-1)^{i+j}\) đổi dấu liên tục từ trái qua phải và từ trên xuống dưới

* Định lý: Cho A là ma trận vuông

+ Nếu ma trận A có 0 hàng hoặc 0 cột thì det(A) = 0

+ Nếu ta đổi chỗ 2 hàng hoặc 2 cột thì det đổi dấu

+ Nếu có 2 hàng hoặc 2 cột giống nhau thì det(A) = 0

+ Nếu ta nhân hàng hoặc cột với 1 số c thì det cũng nhân với c

+ Nếu ta cộng vào 1 dòng (cột) 1 số lần của dòng (cột) khác thì det(A) không đổi

II, Định thức và khả nghịch

* Tính chất: Cho A và B là ma trận n x n, I là ma trận đơn vị 

+ det(I) = 1

+ det(\(A^T\)) = det(A)

+ det(cA) = \(c^n\)det(A)

+ det(AB) = det(A).det(B)

* Định lý: A khả nghịch khi và chỉ khi nếu \(det(A) \neq 0\)

                \(det(A^{-1}) = \frac{1}{det(A)} \)

Ví dụ: Cho A, B là 2 ma trận 3x3 với det(A) = 2, det(B) = 3. Tính \(det(5A^2B^TA^{-1})\)

\(\Rightarrow\)  \(det(5A^2B^TA^{-1})\) = \(5^3(detA)^2.detB.\frac{1}{detA}\) = 750

* Ma trận liên hợp (Adjugate matrix)

- Cho A = \( [a_{ij}]_{m.n}\) \(\rightarrow\) Ma trận liên hợp của A, KH: adj(A)

    \[ \text{adj}(A) = [c_{ij}(A)]^T = \begin{bmatrix} C_{11}(A) & C_{12}(A) & \cdots & C_{1n}(A) \\ C_{21}(A) & C_{22}(A) & \cdots & C_{2n}(A) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ C_{n1}(A) & C_{n2}(A) & \cdots & C_{nn}(A) \end{bmatrix}^T \]\

Ví dụ: Tìm adj(A), biết \(A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\)

\(\Rightarrow\) adj(A) = \(\begin{bmatrix} c_{11}(A) & c_{12}A \\ c_{21}(A) & c_{22}(A) \end{bmatrix}^T\) = \(\begin{bmatrix} d & -c \\ -b & a \end{bmatrix}^T\) = \(\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}\)

* Định lý: Khi \(det(A) \neq 0 \). Có \(A^{-1} = \frac{1}{detA}adj(A)\)

Bài tập:

Bài 1: Tính định thức ma trận \(A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 7 \\ -4 & 0 & 6 \\ 1 & 5 & 0 \end{bmatrix}\)

Bài 2: Tính định thức của ma trận \(A = \begin{bmatrix} 3 & 4 & 5 \\ 1 & 7 & 2 \\ 9 & 8 & -6 \end{bmatrix}\)

Bài 3: Cho detA = 2, detB = 5. Tính:

Bài 4: Tìm adj của ma trận \(A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & -2 \\ 0 & 1 & 5 \\ -2 & -6 & 7 \end{bmatrix}\)

P/s: Đáp án của bài tập và tài liệu nghiên cứu thêm (nếu cần) được tổng hợp ở link dưới sau:
https://drive.google.com/drive/folders/14ZAOrpraom0vBKxDELqvVfhJciIr4ftc?usp=sharing

Video bổ trợ bài học này