[Đại số tuyến tính/Chương III] Chéo hóa

CHƯƠNG III: ĐỊNH THỨC VÀ CHÉO HÓA (TIẾP)

III, Chéo hóa ma trận và giá trị riêng (Diagonalization and Eigenvalues)

* Định nghĩa: Giá trị riêng (Eigenvalues) và Vecto riêng (Eigenvectors)

    - Cho A là ma trận vuông. 1 số thực \(\lambda\) gọi là giá trị riêng của A nếu tồn tại vecto X (vecto cột) sao cho \(AX = \lambda X\) với vecto \(X \neq 0\). Vecto cột X mà thỏa mãn biểu thức thì gọi là vecto riêng ứng với giá trị riêng \(\lambda\)

* Cách tìm giá trị riêng và vecto riêng

- Cho A là ma trận vuông, gọi \(det(xI - A)\) là đa thức đặc trưng (characteristic polynomial) của A. KH: \(c_{A}(x)\)

    + Để tìm giá trị riêng thì ta giải phương trình \(c_{A}(x)\) = \(det(xI - A)\) = 0

    + Để tìm vecto riêng ứng với \(\lambda\) thì ta giải hệ ( \(\lambda I - A\) )X = 0

* Chéo hóa ma trận (Diagnolization algorithm)

- Nếu A là ma trận vuông, tồn tại ma trận khả nghịch P và 1 ma trận chéo D sao cho \(P^{-1}.A.P = D\) thì ta nói ma trận A là chéo hóa được

* Chú ý: Giả sử X = a\(\begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}\) là vecto riêng của \(\lambda\), khi đó, ta gọi \(\begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}\) là vecto riêng cơ bản (basic eigenvectors)

* Để xác định A có chéo hóa được hay không, ta làm như sau

- Cho ma trận A cỡ n x n: 

+ Tìm \(\lambda_{1}.\lambda_{2},...,\lambda_{n}\) (\(\lambda_{i}\) có thể bằng nhau) là các giá trị riêng của A

+ Với mỗi giá trị riêng, ta tìm vecto riêng cơ bản

+ Nếu có đúng n vecto riêng cơ bản ứng với n giá trị riêng \(\lambda_{1}.\lambda_{2},...,\lambda_{n}\) thì A chéo hóa được 

+ Nếu A chéo hóa được thì: \[ A = \begin{bmatrix} \lambda_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_{2} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_{n} \end{bmatrix} \]

Với, P = \(\begin{bmatrix} X_{1} & X_{2} & \cdots & X_{n} \end{bmatrix}\), X là các vecto riêng

Ta có: \(P^{-1}.A.P = D\) \(\Leftrightarrow\) \(A = P.D.P^{-1}\)

* Chú ý: Nếu không đủ vecto riêng cơ bản thì không thể chéo hóa được (nếu muốn chéo hóa thì phải đủ vecto riêng cơ bản ứng với các giá trị riêng tương ứng)

Bài tập:

Bài 1: Tìm các giá trị riêng và vecto riêng của ma trận \(A = \begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}\)

Bài 2: Chéo hóa ma trận \(A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & 3 & -2 \end{bmatrix}\)

P/s: Đáp án của bài tập và tài liệu nghiên cứu thêm (nếu cần) được tổng hợp ở link dưới sau:

https://drive.google.com/drive/folders/14ZAOrpraom0vBKxDELqvVfhJciIr4ftc?usp=sharing

Video bổ trợ bài học này