[Đại số tuyến tính/Chương II] Ma trận đại số

CHƯƠNG II: MA TRẬN ĐẠI SỐ

I, Các phép toán cơ bản với ma trận

- Nhắc lại: Ta ký hiệu \(A_{m.n}\), là ma trận có m dòng và n cột \[ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & a_{ij} & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \]

- Ta có thể viết tắt A = \([a_{ij}]_{m.n}\)

- Số \(a_{ij}\) ( \(1 \leq i \leq m\); \(1 \leq j \leq n\) ) gọi là vị trí (i;j) của ma trận

- Khi m=n, ta gọi A là ma trận vuông

* Phép cộng trừ:

+ Phép cộng:

\[ \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \cdots & a_{1n} + b_{1n} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & \cdots & a_{2n} + b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} + b_{m1} & a_{m2} + b_{m2} & \cdots & a_{mn} + b_{mn} \end{bmatrix} \]

+ Phép trừ: 

\[ \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} - b_{11} & a_{12} - b_{12} & \cdots & a_{1n} - b_{1n} \\ a_{21} - b_{21} & a_{22} - b_{22} & \cdots & a_{2n} - b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} - b_{m1} & a_{m2} - b_{m2} & \cdots & a_{mn} - b_{mn} \end{bmatrix} \]

- Chú ý: Để cộng, trừ ma trận, các ma trận phải có cùng cỡ (kích thước)

*Phép nhân ma trận với 1 số thực

k\(\begin{bmatrix} a & b & c \\ x & y & z \end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix} ka & kb & kc \\ kx & ky & kz \end{bmatrix}\)

Ví dụ: 2X + \(\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 4  \end{bmatrix}\) =  \(\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 3 & 1  \end{bmatrix}\)

\(\Leftrightarrow\) 2X = \(\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 3 & 1  \end{bmatrix}\) \(-\) \(\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 4  \end{bmatrix}\)

\(\Leftrightarrow\) 2X = \(\begin{bmatrix} -1 - 1 & 0 - (-2) \\ 3 - 3 & 1 - 4  \end{bmatrix}\)

\(\Leftrightarrow\) 2X = \(\begin{bmatrix} -2 & 2 \\ 0 & -3  \end{bmatrix}\)

\(\Rightarrow\) X = \(\begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 0 & \frac{-3}{2}  \end{bmatrix}\)

* Tính chất: 

- Cho A, B, C là các ma trận m x n; k, p là số thực

    + A + B = B + A

    + A + 0 = 0 + A = A

    + A + (B + C) = (A + B) + C

    + k(A + B) = kA + kB

    + kA + pA = (k + p)A

    + k(pA) = (kp)A

    + 1.A = A

* Chuyển vị (Transpose)

- Định nghĩa: Chuyển vị của ma trận A (KH: \(A^{T}\)), là ma trận có dòng i của nó bằng với dòng i của cột (\(ith_{row} = ith_{column}\))

Ví dụ: \(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \) = \(A^T = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{bmatrix} \)

* Tính chất:

    + \( (A^T)^T \)  = \(A\)

    + \( (A+B)^T \) = \( A^T + B^T \)

    + \( (k.A)^T \) = \(k.A^T\)

* Ma trận đối xứng (Symmetric matrices)

- Là ma trận thỏa mãn ( \( A = A^T \) )

- Nhận xét: + Ma trận đối xứng là ma trận vuông (m = n)

                    + Các hệ số trong ma trận đối xứng thì đối xứng nhau qua đường chéo chính (là đường chéo lớn nhất từ trái qua phải)

                    + Trong ma trận đối xứng thì \( a_{ij} = a_{ji} \)

Ví dụ: 

\( A = \begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 2 \end{bmatrix} \) là ma trận đối xứng

\( A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 5 \end{bmatrix} \) không là ma trận đối xứng

II, Phép nhân ma trận (Matrix multiplication)

Cho: \(\begin{cases} A & \text{là ma trận m.n} \\ B & \text{là ma trận n.p} \end{cases}\) \(\Rightarrow\) \(A.B = m.p\)

Ví dụ 1: \(\begin{bmatrix} a & b & c \\ x & y & z \end{bmatrix}\) . \(\begin{bmatrix} M & N \\ P & Q \\ U & V \end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix} a.M + b.P + c.U & a.N + b.Q + c.V \\ x.M + y.P + z.U & x.N + y.Q + z.V \end{bmatrix}\)

Ví dụ 2: \(\begin{bmatrix} 2 & 3 & 4 \end{bmatrix}\) . \(\begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix} 2a + 3b + 4c \end{bmatrix}\)

Ví dụ 3: \(\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix}\) . \(\begin{bmatrix} a & b & c \end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix} 2a & 2b & 2c \\ 3a & 3b &3c \\ 4a & 4b & 4c \end{bmatrix}\)

* Chú ý: 

    + Phép nhân ma trận không có tính chất giao hoán (hay A.B \(\neq\) B.A)

    + Ma trận \(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\) là ma trận đơn vị, KH: \( I = 1 \)

    + \( (AB)^T \) = \(B^T.A^T \)

* Ma trận và hệ tuyến tính (Matrices and Linear systems)

- Xét hệ phương trình: 

\( \begin{cases} a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \cdots + a_{1n}x_{n} = b_{1} \\ a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \cdots + a_{2n}x_{n} = b_{2} \\ \vdots \\ a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + \cdots + a_{mn}x_{n} = b_{m} \end{cases} \)

- Có thể viết là AX=B, trong đó:

\( A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}  \end{bmatrix} \); \(X = \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \cdots \\ x_{n} \end{bmatrix}\); \(B = \begin{bmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \cdots \\ b_{m} \end{bmatrix}\)

III, Ma trận nghịch đảo (Matrix inverses)

* Chỉ có trong ma trận vuông (m = n)

- Cho ma trận A cỡ n x n, ma trận B cỡ n x n, thỏa mãn: AB = BA = I gọi là ma trận nghịch đảo của A

* Chú ý: 

+ Không phải ma trận vuông nào cũng có nghịch đảo. 

    Ví dụ: \(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}\) không phải là ma trận nghịch đảo

+ Ma trận nghịch đảo của A, KH là \(A^{-1}\)

* Ma trận nghịch đảo 2x2 (Inverses 2x2 matrices)

- Cho \(A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\). Ta gọi định thức (Determinant) của A là \(A = det(A) = a.d - b.c\)

* Định lý: Ma trận \(A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\) khả nghịch (có nghịch đảo) khi và chỉ khi \(det(A) \neq 0\), khi đó: \[ A^{-1} = \frac{1}{det(A)} \begin{bmatrix}d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}\]

Ví dụ: \(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\) 

\(\Rightarrow\) \( A^{-1} = \frac{1}{1.4 - 2.3} \begin{bmatrix}4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & \frac{-1}{2} \end{bmatrix}\)

* Định lý: Khi A khả nghịch mà \(AX = B\) \(\Rightarrow\) \(X = A^{-1}B\)

* Tính chất: 

+ \(I^{-1} = I\)

+ \( (A^{-1})^{-1} = A\)

+ Nếu A, B khả nghịch \( (AB)^{-1}\) = \(B^{-1}.A^{-1}\)

+ Nếu A, B khả nghịch \( (A^{n})^{-1} = (A^{-1})^{n}\)  \(\Rightarrow\) \(A^{n}\) khả nghịch thì A cũng khả nghịch

+ Nếu A, B khả nghịch \( (A^{T})^{-1} = (A^{-1})^{T}\) 

* Định lý: Cho A la ma trận n x n, các khẳng định sau là tương đương:

+ A khả nghịch (Invertible)

+ Hệ thuần nhất AX = 0 \(\Rightarrow\) X = 0 (Trivial solution)

+ A đưa về ma trận bậc thang dòng thu gọn thì thu được ma trận đơn vị I

+ AX = B, có duy nhất nghiệm với mỗi B

+ Tồn tại ma trận C sao cho AC = I

IV, Phép biến đổi ma trận (Matrix transformation)

- Ánh xạ (map/mapping) T: \(R^{n} \rightarrow R^{m}\) gọi là 1 phép biến đổi ma trận nếu có ma trận A sao cho:  T( \(\overrightarrow{v}\) ) = \(A.\overrightarrow{v}\)  \(\forall v \epsilon R^{n} \)

- Nhận xét: Ma trận A có cỡ m x n . Ta gọi A là ma trận của ánh xạ T

Ví dụ: Xét T: \(R^{3} \rightarrow R^{2}\) 

\(\begin{bmatrix}x \\ y \\ z \end{bmatrix}\) \(\mapsto\) \(\begin{bmatrix} 2x + y \\ x - y + z \end{bmatrix}\)

Có: \(\begin{bmatrix} 2x + y \\ x - y + z \end{bmatrix}\) = A.\(\begin{bmatrix}x \\ y \\ z \end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix}\).\(\begin{bmatrix}x \\ y \\ z \end{bmatrix}\)

\(\Rightarrow\) Ma trận A là ma trận ánh xạ của T

* Phép biến đổi tuyến tính (Linear transformations)

- Ánh xạ T: \(R^{n} \rightarrow R^{m}\) thỏa mã:

    + T( \(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}\) ) = T( \(\overrightarrow{u}\) ) + T( \(\overrightarrow{v}\) )

    + T( \(k\overrightarrow{u}\) ) = k.T( \(\overrightarrow{u}\) ), với k là số thực

\(\Rightarrow\) Khi đó, T gọi là phép biến đổi tuyến tính, hay ánh xạ tuyến tính

* Chú ý: Không thỏa mãn 1 trong 2 điều kiện trên thì không phải là ánh xạ tuyến tính

Ví dụ: T: \(R^{2} \rightarrow R\), T\(\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}\) = ab

Xét: T( \(\begin{bmatrix}a_{1}\\b_{1}\end{bmatrix}\) + \(\begin{bmatrix}a_{2}\\b_{2}\end{bmatrix}\) ) = T\(\begin{bmatrix}a_{1} + a_{2}\\b_{1} + b_{2}\end{bmatrix}\) = ( \(a_{1} + a_{2}\) )( \(b_{1} + b_{2} \) )  (1)

        T\(\begin{bmatrix}a_{1}\\b_{1}\end{bmatrix}\) + T\(\begin{bmatrix}a_{2}\\b_{2}\end{bmatrix}\) = \(a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} \)    (2)

Nhận thấy: (1) \(\neq\) (2)

\(\Rightarrow\) T không là ánh xạ tuyến tính

* Lưu ý: Muốn là ánh xạ tuyến tình thì 

    + Biểu thức không có hệ số tự do

    + a, b, ... bậc nhất và đứng 1 mình (không nhân với nhau)

* Tính chất: Nếu T là ánh xạ tuyến tính thì:

    T( \(a_{1} \overrightarrow{x_1} + a_{2} \overrightarrow{x_2} + \dots + a_{k} \overrightarrow{x_k} \) ) = \(a_{1}T(\overrightarrow{x_{1}}) + a_{2}T(\overrightarrow{x_{2}}) + ... + a_{k}T(\overrightarrow{x_{k}}) \), với \(\forall a_{i} \epsilon R\) và \(\overrightarrow{x_{i}} \epsilon R^{n}\)

* Định lý: T: \(R^{n} \rightarrow R^{m}\) là ánh xạ tuyến tính. Khi đó, T là biến đổi ma trận có ma trận cho bởi A = [ T( \(E_{1}\) ).T( \(E_{2}\) )...T( \(E_{n}\) ) ] 

    Với, \(E_{1} = \begin{bmatrix}1\\0\\ \vdots \\0 \end{bmatrix}\), \(E_{2} = \begin{bmatrix}0\\1\\ \vdots \\0 \end{bmatrix}\), ... , \(E_{n} = \begin{bmatrix}0\\0\\ \vdots \\1 \end{bmatrix}\)

Ví dụ: T: \(R^{2} \rightarrow R\), T\(\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}\) = a + 2b. Tính ma trận của ánh xạ tuyến tính T

Có: \(E_{1} = \begin{bmatrix}1\\0 \end{bmatrix}\); \(E_{2} = \begin{bmatrix}0\\1 \end{bmatrix}\)

\(\Rightarrow\) T( \(E_{1}\) ) = \(T \begin{bmatrix}1\\0 \end{bmatrix}\) = 1 + 2.0 = 1

    T( \(E_{2}\) ) = \(T \begin{bmatrix}0\\1 \end{bmatrix}\) = 0 + 2.1 = 2

\(\Rightarrow\) Ma trận của T là: \(\begin{bmatrix}1 & 2 \end{bmatrix}\)

* Hợp của phép biến đổi tuyến tính (Composite of Linear transformations)

- Giả sử: T: \(R^{n} \rightarrow R^{m}\)

               S: T: \(R^{m} \rightarrow R^{p}\)

    Khi đó, \(S o T\) gọi là ánh xạ hợp của S và T:

                \(S o T(\overrightarrow{x})\) = S( \(T(\overrightarrow{x})\) ), \(\forall \overrightarrow{x} \epsilon R^{n} \)

* Định lý: Nếu T và S tuyến tính thì \(SoT\) cũng là ánh xạ tuyến tính và T có ma trận A, S có ma trận B

\(\Rightarrow\) \(S o T\) có ma trận là B.A

Ví dụ: Cho T là phép đối xứng qua Ox, sau đó là phép quay góc \(\frac{\pi}{2}\). Tìm ma trận của T

Giả sử: T = \(T_{2} o T_{1}\) trong đó, \(T_{2}\) là phép đối xứng qua Ox và \(T_{1}\) là phép quay góc \(\frac{\pi}{2}\)

Trong \(R^{2}\) ta có: \(E_{1} = \begin{bmatrix}1\\0 \end{bmatrix}\); \(E_{2} = \begin{bmatrix}0\\1 \end{bmatrix}\)

\(\Rightarrow\) \(T_{2}(E_{1})\) = \(T_{2} \begin{bmatrix}1\\0 \end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}\)

    \(T_{2}(E_{2})\) = \(T_{2} \begin{bmatrix}0\\1 \end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix}0\\-1\end{bmatrix}\)

\(\Rightarrow\) Ma trận \(T_{2}\): \(\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}\)

Ta có, \(T_{1}\) = \(\begin{bmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\) (ADCT góc quay a: \(\begin{bmatrix}cosa & -sina \\ sina & cosa \end{bmatrix}\) )

\(\Rightarrow\) T có ma trận: T = \(T_{2} o T_{1}\) = \(T_{2}.T_{1}\) = \(\begin{bmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\)

Bài tập:

Bài 1: Cho 2 ma trận \(A = \begin{bmatrix}2 & 1 & 3 \\ -1 & 2 & 0\end{bmatrix}\) và \(B = \begin{bmatrix}1 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & 6\end{bmatrix}\). Tính A + B

Bài 2: Tìm a, b, c thỏa mãn

Bài 3: Biểu diễn các ma trận sau dưới dạng ma trận chuyển vị

Bài 4: Tính A.B

Bài 5: Cho T là phép quay góc \(\frac{\pi}{2}\), sau đó là phép đối xứng qua Oy. Tìm ma trận của T

P/s: Đáp án của bài tập và tài liệu nghiên cứu thêm (nếu cần) được tổng hợp ở link dưới sau:

https://drive.google.com/drive/folders/128-eTOLPdjHJGij54XPM6REmJbaYMI_n?usp=sharing

Video bổ trợ bài học này