[Đại số tuyến tính] Công thức biến đổi ma trận

CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI MA TRẬN

I, Phép biến đổi trong mặt phẳng (Transformations in plane)

- Xét đường thẳng L đi qua gốc tọa độ (Origin) và có hệ số góc (Slope) m

* Phép quay góc \(\alpha\) của ma trận: \[\begin{bmatrix} cos\alpha & -sin\alpha \\ sin\alpha & cos\alpha \end{bmatrix}\]

* Phép chiếu vuông góc lên đường thẳng L có ma trận: \[\frac{1}{1 + m^2}\begin{bmatrix} 1 & m \\ m & m^2 \end{bmatrix}\]

* Phép đối xứng qua đường thẳng L có ma trận: \[\frac{1}{1 + m^2}\begin{bmatrix} 1 - m^2 & 2m \\ 2m & m^2 - 1 \end{bmatrix}\]

II, Phép biến đổi trong không gian (Transformations in Space)

1. Với đường thẳng

- Xét đường thẳng L có \(\overrightarrow{d}\) = \(\begin{bmatrix} a\\b\\c \end{bmatrix}\) là vecto chỉ phương, L đi qua gốc tọa độ \(\Rightarrow\) \(L : \begin{cases} x = at \\ y = bt \\ z = ct \end{cases}\) , (\(t \epsilon R\))

* Phép chiếu lên L có ma trận: \[\frac{1}{a^2+b^2+c^2} \begin{bmatrix} a^2 & ab & ac \\ ab & b^2 & bc \\ ac & bc & c^2 \end{bmatrix} \]

* Phép đối xứng qua đường thẳng L: \[\frac{1}{a^2+b^2+c^2} \begin{bmatrix} a^2 - b^2 - c^2 & 2ab & 2ac \\ 2ab & b^2 - a^2 - c^2 & 2bc \\ 2ac & 2bc & c^2 - a^2 - b^2 \end{bmatrix} \]

2. Với mặt phẳng

- Xét mặt phẳng (M) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\) = \(\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}\); (M) đi qua gốc tọa độ (M): ax + by + cz = 0

* Phép chiếu lên (M) có ma trận: \[\frac{1}{a^2+b^2+c^2} \begin{bmatrix} b^2 + c^2 & -ab & -ac \\ -ab & a^2 + c^2 & -bc \\ -ac & -bc & a^2 + b^2 \end{bmatrix} \]

* Phép đối xứng qua (M) có ma trận: \[\frac{1}{a^2+b^2+c^2} \begin{bmatrix}b^2 + c^2 - a^2 & -2ab & -2ac \\ -2ab & a^2 + c^2 - b^2 & -2bc \\ -2ac & -2bc & a^2 + b^2 - c^2 \end{bmatrix} \]

Video bổ trợ bài học này