[Giải tích 2/Chương I] Tích phân

CHƯƠNG I: TÍCH PHÂN

I, Tích phân xác định

- Định nghĩa: Cho hàm số f trên [a;b]. Ta chia [a;b] thành n đoạn con [x1;x2] ; [x2;x3] ;...,  [\(x_{n-1}\)];\(x_{n}\) với \(x_{i} = a + i\bigtriangleup x\); \(\bigtriangleup x = \frac{b-a}{n}\). Trong mỗi đoạn [\(x_{i-1}\);\(x_{i}\)], ta lấy \(x_{i}^{*}\) sao cho f(\(x_{i}^{*}\)) = chiều cao của hình chữ nhật

Khi đó, ta ký hiệu:

\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\) \(\displaystyle \sum_{n=1}^{n}\) \(f(x_{i}^{*})\) = \(\int_a^b f(x)dx\), nếu giới hạn trên có tồn tại

Nhận xét: \(\int_a^b f(x)dx\) không phụ thuộc vào tên biến x nên x cũng chỉ là kí hiệu

\(\Rightarrow\) \(\int_a^b f(x)dx\) = \(\int_a^b f(t)dt\) = \(\int_a^b f(r)dr\)

* Định nghĩa: 

+ Diện tích có dấu (net signed area): \(\int_a^b f(x)dx\) = \(A_{1}\) - \(A_{2}\)

+ Diện tích hình học (total area): \(\int_a^b |f(x)|dx\) = \(A_{1}\) + \(A_{2}\)

* Tính chất của tích phân:

* Tính chất so sánh: (a\(\geq\)b) (Tích phân hóa)

    1. Nếu \(f(x) \geq 0 \)  và \(a \leq x \leq b\) \(\Rightarrow\) \(\int_a^b f(x)dx \geq 0\)

    2. Nếu \(f(x) \geq g(x)\)  và \(a \leq x \leq b\) \(\Rightarrow\) \(\int_a^b f(x)dx \geq \int_a^b g(x)dx\)

    3. Nếu \(m \leq f(x) \leq M\) và \(a \leq x \leq b\) \(\Rightarrow\) \(m(b-a) \leq \int_a^b f(x)dx \leq M(b-a)\)

* Định lý giá trị trung bình trong tích phân

- Cho f liên tục trên [a;b], khi đó tồn tại \(c \epsilon [a;b]\) sao cho:

        \(f(c)\) = \(f_{ave}\) = \(\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx\), với \(f_{ave}\) là \(f\) trung bình
               \(\Leftrightarrow\) \(\int_a^b f(x)dx\) = \(f(c)(b-a)\)

II, Định lý cơ bản của giải tích

* Định lý: Nếu f(x) liên tục trên [a;b] và hàm F(x) được xác định bởi:

                 F(x) = \(\int_a^x f(t)dt\), thỏa mãn, F'(x) = f(x) trong [a;b]

* Tổng quát:

           \(\frac{d}{dx}\)\(\int_{v(x)}^{u(x)} f(t)dt\) = \(u'(x).f(u(x)) - v'(x).f(v(x))\)

* Định lý: f liên tục trên [a;b] có nguyên hàm là F thì:

           \(\int_a^b f(x)dx\) = F(b) - F(a) = \(F(x)|_{a}^{b}\)

III, The net change theorem

- Giả sử 1 vật thể chuyển động thẳng có phương trình: s(t)

\(\Rightarrow\) \(\frac{ds(t)}{dt}\) = v(t) là tốc độ chuyển động của vật (m/s)

              \(\Leftrightarrow\) s'(t) = v(t)

\(\Rightarrow\) \(\int_{t_{1}}^{t_{2}} \frac{ds(t)}{dt}dt\) = \(\int_{t_{1}}^{t_{2}} v(t)dt\) = s(t2) - s(t1) = Khoảng cách thay đổi trong khoảng thời gian \(t_{1} \rightarrow t_{2}\) (displacement)

\(\Rightarrow\) Total distance traveled (Tổng quãng đường đi được): \(\int_{t_{1}}^{t_{2}} |v(t)|dt\)

+ Displacement: \(\int_{t_{1}}^{t_{2}} v(t)dt\) = A1 - A2 + A3

+ Distance: \(\int_{t_{1}}^{t_{2}} |v(t)|dt\) = A1 + A2 + A3

* Tính chất: 

+ Nếu f là hàm chẵn, f(-x) = f(x) thì: \(\int_{-a}^a f(x)dx\) = \(2\int_0^a f(x)dx\)

+ Nếu f là hàm lẻ, f(-x) = -f(x) thì: \(\int_{-a}^a f(x)dx\) = 0

IV, Phép đặt ẩn phụ (Substitution)

Đặt: g(x) = u \(\Rightarrow\) g'(x) = \(\frac{du}{dx}\) \(\Leftrightarrow\) g'(x)dx = du

\(\Rightarrow\) \(\int f(g(x))g'(x)dx\) = \(\int f(u)du\)

Bài tập:

Bài 1: 

Bài 2:

Bài 3:

Bài 4*: Tính hàm chẵn \(\int_{-2}^{2} (3x^{8} - 2)dx\) và kiểm tra công thức đã cho có đúng là hàm chẵn không?

Bài 5*: Tính tích phân xác định của hàm lẻ -5sinx trên khoảng [−π, π]

P/s: Đáp án của bài tập và tài liệu nghiên cứu thêm (nếu cần) được tổng hợp ở link dưới sau:

https://drive.google.com/drive/folders/1P9-oBVy6tEZoG5-jIZl3eRKgW_XkJI-O?usp=sharing

Video bổ trợ bài học này