[Giải tích 1/Chương II] Giới hạn

CHƯƠNG II: GIỚI HẠN

I, Định nghĩa 

- Ta có hàm số \(f(x)\) có giá trị L, khi \( x \rightarrow a  \) thì \( f(x) \approx L \) khi x gần a (\( x  \neq a  \))  \(\Rightarrow \displaystyle \lim_{x \rightarrow a} f(x) = L\)

+ \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow a{-}} f(x) = L\) khi x tiến tới a và nhỏ hơn a (giới hạn trái)

+ \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow a{+}} f(x) = L\) khi x tiến tới a và lớn hơn a (giới hạn phải)

* Chú ý: \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow a} f(x) = L\) khi và chỉ khi  \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow a{-}} f(x) \) = \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow a{+}} f(x)\) = \(L\)

- Ta có, \(\displaystyle  \lim_{x \rightarrow a} f(x) =  \pm \infty\) nếu \(f(x)\) xác định xung quanh a nhưng không xác định tại a

- Nếu, \(\displaystyle  \lim_{x \rightarrow a} f(x) =  \pm \infty\) thì đường thẳng x = a là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f(x)\)

II, Định luật giới hạn

* Định lý kẹp (The Squeeze Theorem)

\(f(x)  \leq g(x)  \leq h(x)\) khi x tiến tới a, nếu  \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow a} f(x) \) =  \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow a} h(x) \) = \(L\) \(\Rightarrow \displaystyle \lim_{x \rightarrow a} g(x) = L\)

Ví dụ: Chứng minh \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}  x^{2} sin \frac{1}{x} = 0 \)

                            Có:  \(-1  \leq sin \frac{1}{x} \leq 1\)

                            \(\Rightarrow -x^{2}   \leq x^{2}sin\frac{1}{x} \leq x^{2}\)

                Mà:  \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} -x^{2} \) = \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} x^{2} \) = 0 

                                \( \Rightarrow \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}  x^{2} sin \frac{1}{x} = 0 \) (đpcm)

III, Tính liên tục (Continuity)

1, Định nghĩa

- 1 hàm số f được coi là liên tục tại 1 điểm, khi và chỉ khi nó thỏa mãn 3 điều kiện sau:

          1, \(f(a)\) xác định

          2,  \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow a} f(x) \) xác định

          3, \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow a} f(x) = f(a)\) 

- Khi f không liên tục tại a, hoặc* f không xác định tại a, hoặc** limf(x) không tồn tại, hoặc*** có lim nhưng 2 lim khác nhau thì hàm đó bị gián đoạn (discontinuous):

* f có điểm gián đoạn tháo rời (removable discontinuity) tại điểm a nếu \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow a} f(x) \)

** f có điểm gián đoạn nhảy (jump discontinuity) tại điểm a nếu \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow a{-}} f(x) \) và \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow a{+}} f(x) \) đều tồn tại nhưng 2 lim này không bằng nhau

*** f có gián đoạn vô hạn (infinite discontinuity) tại điểm a nếu \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow a{-}} f(x) = \pm \infty \) hoặc \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow a{+}} f(x) = \pm \infty \)

* Hệ quả: Nếu hàm số f(x) vừa liên tục trái tại a và vừa liên tục phải tại b thì ta nói hàm số f(x) liên tục trong khoảng (a,b)

* Tính chất: Nếu f và g là 2 hàm liên tục thì +, -, x, / của chúng cũng liên tục

* Lưu ý: Hàm đa thức, phân thức, căn thức, lượng giác, mũ và logarit thì xác định tại đâu, liên tục tại đó

* Định lý giá trị trung gian (The intermediate value theorem)

Giả sử f liên tục trên đoạn [a;b], \(f(a)  \neq f(b) \) và N là giá trị bất kì nằm giữa a và b thì khi đó tồn tại c trong (a;b) sao cho: f(c) = N

\(\Rightarrow \) Hệ quả: Nếu f liên tục trên [a;b], f(a) < 0, f(b) > 0 hoặc ngược lại thì luôn tồn tại \(x_{0}\) là nghiệm của f(x) trong (a;b) sao cho f(a).f(b) < 0

Ví dụ: Chứng minh: \(4x^{3} - 6x^{2} + 3x -2 =0 \) luôn có nghiệm trong [1;2]

Có: f(1) = -1 < 0

       f(2) = 12 > 0

       \(\Rightarrow\) f(1).f(2) = -12 < 0

       \(\Rightarrow\) Luôn tồn tại nghiệm trong [1;2]

Bài tập:

Bài 1: Tính

Bài 2: Tính

Bài 3: Tính

Bài 4: Tính

P/s: Đáp án của bài tập và tài liệu nghiên cứu thêm (nếu cần) được tổng hợp ở link dưới sau:

https://drive.google.com/drive/folders/1XLSKviEqQd868RUhv4iKGeqLw8Xoy7x1?usp=sharing

Video bổ trợ bài học này