[Giải tích 1/Chương I] Hàm số

CHƯƠNG I: HÀM SỐ

I, Định nghĩa

- Cho A, B là 2 tập hợp, 1 hàm f: \( A \rightarrow B \) là 1 quy tắc gán mỗi phần từ \( x \in A \) với mỗi phần tử riêng biệt  \( f(x) \in B\)

-  Trong đó:    +) A là tập xác định (Domain)

                         +) B là tập đích (Codomain)

                         +) \( x \in A \), \(f(x) \) gọi là ảnh của x

                         +) Ảnh của f (Image): Im(f) = Range(f) (miền/tập giá trị) = \({f(x), x \in A} \leq B\)

Ví dụ: Cho  \(f(x) =  \sqrt{x-2} + 5  \). Tìm tập xác định và tập giá trị của hàm f

            => Tập xác định = \([2;\infty] \) => R

                  Tập giá trị =  \([5;\infty] \)

II, Một số hàm cơ bản

- \(f(x) =  ax + b \) (Hàm bậc nhất)

- \(f(x) =  x^{2} ,  x^{3} ,... \) (Hàn đa thức)

- \(f(x) = \frac{ x^{2} + x}{ x^{3} + 1} \) (Hàm phân thức)

- \(f(x) = sinx, cosx,... \) (Hàm lượng giác)

- \(f(x) = a^{x} \) (a>0) (Hàm mũ)

- \(f(x) = \log_{a}{x} \) , \( x \in (0;\infty) \) (Hàm logarit)

III, Tính chất của hàm số

1, Hàm đồng biến (Increasing function)

\(\forall x,y: x \leq y  \Leftrightarrow f(x) \leq f(y) \)

2, Hàm nghịch biến (Decreasing function)

\(\forall x,y: x \leq y  \Leftrightarrow f(x)  \geq f(y) \)

3. Hàm chẵn (Even function)

\( \forall x: f(-x) = f(x) \) - đối xứng qua trục tung

4, Hàm lẻ (Odd function)

\( \forall x: f(-x) = -f(x) \) - đối xứng qua gốc tọa độ

5, Hàm tuyến tính (Linear function)

- Là hàm có đồ thị hàm số thẳng (Oxy) và phẳng (Oxyz)

 Cho \( f(x) = ax + b \), a là hệ số góc (slope)

Với, a>0: Hàm đồng biến

        a<0: Hàm nghịch biến

        a=0: Hàm hằng (Constant)

6, Hàm định nghĩa từng khoảng (Piecewise-defined function)

VD:\[ f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{nếu } x < 0, \\ x + 1 & \text{nếu } 0 \leq x \leq 1, \\ 2x - 1 & \text{nếu } x > 1. \end{cases} \]

IV, Phép tính trên hàm số

+ \((f \pm g)(x) = f(x)  \pm g(x) \) 

+ \((f.g)(x) = f(x) . g(x) \) 

+ \((\frac{f}{g})x =  \frac{f(x)}{g(x)} ,  g(x)  \neq 0\) 

* Hàm hợp (Composition of functions)

- \((fog)(x) = f(g(x)) \)

Ví dụ: Cho \(f(x) = 2x + 3 \) và \(g(x) = x^{2} \) => \((fog)(x) = f(g(x)) = 2 x^{2} + 3 \)

V, Phép biến đổi của hàm số

- Theo trục hoành (Hozirontally): 

+ \(y = f(x+a) \) - Dịch đồ thị hàm số qua trái a đơn vị

+ \(y = f(x-a) \)  - Dịch đồ thị hàm số qua phải a đơn vị

-Theo trục tung (Vertically):

+ \(y = f(x) + b \) - Dịch đồ thị hàm số lên trên b đơn vị

+ \(y = f(x) - b \) - Dịch đồ thị hàm số xuống dưới b đơn vị

* Đối xứng (Reflection): 

* Co giãn (Dilation)

+ Co giãn đồ thị theo trục hoành c lần (\(c \neq 0 \)) : \[ f(x) = \begin{cases} y = f(cx) \\ y = f( \frac{1}{c} x). \end{cases} \]

+ Co giãn đồ thị theo trục tung c lần (\(c \neq 0 \)): \[ f(x) = \begin{cases} y = cf(x) \\ y = \frac{1}{c}f(x). \end{cases} \]

Bài tập:

Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau

Bài 2: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

P/s: Đáp án của bài tập và tài liệu nghiên cứu thêm (nếu cần) được tổng hợp ở link dưới sau:

https://drive.google.com/drive/folders/1-a-xN6mc_PiY9n1SU45tQoph-RYTJQKH?usp=sharing

Video bổ trợ bài học này