[Đại số tuyến tính/Chương I] Hệ phương trình tuyến tính

CHƯƠNG I: HPT TUYẾN TÍNH

I, Nghiệm và các phép biến đổi cơ bản (Solution and elementary operations)

- Ví dụ: Hệ pt tuyến tính có dạng

\(\Rightarrow\) \(\begin{cases}x + 2y - 3z = -4 \\ 3x - y + 2x = 7 \\ 4y + z = 11 \end{cases}\) \(\Rightarrow\) \(\begin{cases} x = 1 \\ y = 2 \\ z = 3 \end{cases}\), với x,y,z là các biến/ẩn

+ Nghiệm của hệ này có dạng (x,y,z) = (1,2,3)

+ Nếu hệ có nghiệm (ít nhất 1 nghiệm) thì ta nói: Consistent

    Nếu hệ vô nghiệm thì ta nói: Inconsistent

* Ba phép biến đổi sơ cấp để giải HPT (Three elementary operations)

            1, Đổi chỗ 2 pt trong hệ 

            2, Nhân 2 vế với 1 số bất kì \(\neq\) 0 

            3, Nhân pt với 1 số rồi cộng kết quả thu được với pt khác 

Ví dụ: Giải \(\begin{cases}x + 2y - 3z = -1  (1) \\ 2x + y + 2z = 4  (2) \\ 3x - 4y + z = 7  (3) \end{cases}\)

Lấy (1) nhân với 2 trừ (2) ta được: 3y - 8z = -6 (4)

Lấy (1) nhân với 3 trừ (3) ta được: 10y - 10z = -10 (5)

Ta thu được: \(\begin{cases} x + 2y - 3z = -1 (6) \\ 3y - 8z = -6 (7) \\ 10y - 10z = -10 (8) \end{cases}\)

Lấy (7) trừ đi (8) nhân với 3 ta được: -5z = -3 \(\Leftrightarrow\) \(z = \frac{3}{5}\)

Thay \(z = \frac{3}{5}\) vào (7) ra \(y = \frac{-2}{5}\) \(\Rightarrow\) Thế vào (6) \(\Rightarrow\) \(x = \frac{8}{5}\)

II, Phép khử Gauss (Gaussian elimination)

Xét hệ phương trình:\[ \begin{cases} a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \cdots + a_{1n}x_{n} = b_{1} \\ a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \cdots + a_{2n}x_{n} = b_{2} \\ \vdots \\ a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + \cdots + a_{mn}x_{n} = b_{m} \end{cases} \]

Với, \(a_{ij}\) và \(b_{k}\) là số thực, \(x_{i}\) là các biến

- Khi xóa các \(x_{i}\) đi thì ta được bảng sau gọi là ma trận hệ số (coefficient matrix):\[  \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \]

- Khi quan tâm đến cả \(a_{ij}\) và \(b_{k}\) thì ta được ma trận tăng cường (augmented matrix): \[ \left[\begin{array}{cccc|c} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_{1} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_{2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_{m} \end{array}\right] \]

* Định nghĩa: Ma trận bậc thang dòng là ma trận thỏa mãn các tính chất sau:

    + Các dòng bằng 0 thì nằm ở dưới

    + Thành phần đầu tiên \(\neq\) 0 ở mỗi đòng từ trái qua phải bằng 1. Ta gọi thành phần này là 1-leading

    + 1-leading ở hàng dưới nằm bên phải so với 1-leading ở hàng trên

Ví dụ:

\(\begin{cases}x + 2y - 3z = -1 \\ y - z = -1 \\ z = \frac{3}{5} \end{cases}\) \(\Rightarrow\) \( \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -3 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{3}{5} \end{array}\right] \)

* 3 phép biến đổi sơ cấp của ma trận: 

        + Đổi chỗ 2 hàng 

        + Nhân 1 hàng với 1 số \(\neq\) 0

        + Nhân 1 hàng với 1 số \(\neq\) 0 rồi cộng với các hàng khác

* Định lý: Mọi ma trận đều đưa được về ma trận bậc thang dòng qua 1 dãy các phép biến đổi sơ cấp

Ví dụ: Đưa ma trận \(  \begin{bmatrix} 1 & -1 &  3 \\ 2 & 1 & 1 \\  3 & 2 & 4 \end{bmatrix} \) về ma trận bậc thang dòng

Đặt: (1) tương ứng dòng 1 của ma trận, (2) là dòng 2, (3) là dòng 3; với các số có dấu * trên đầu thì là dòng mới tương ứng sau khi biến đổi

Đầu tiên, \(\begin{cases} (2^{*}) = (1).2 - (2) \\ (3^{*}) = (1).3 - (3) \end{cases}\) \(\Rightarrow\) \(  \begin{bmatrix} 1 & -1 &  3 \\ 0 & -3 & 5 \\  0 & -5 & 5 \end{bmatrix} \)

Sau đó, \(\begin{cases} (2^{**}) = \frac{2^{*}}{-3} \\ (3^{**}) = \frac{3^{*}}{-5} \end{cases}\) \(\Rightarrow\) \(  \begin{bmatrix} 1 & -1 &  3 \\ 0 & 1 & \frac{-5}{3} \\  0 & 1 & -1 \end{bmatrix} \)

Lấy, \( (3^{***}) = (3^{**}) - (2^{**}) \) \(\Rightarrow\) \(  \begin{bmatrix} 1 & -1 &  3 \\ 0 & 1 & \frac{-5}{3} \\  0 & 0 & \frac{-2}{3} \end{bmatrix} \)

Cuối cùng, \( (3^{****}) = (3^{***}).\frac{-3}{2} \) \(\Rightarrow\) \(  \begin{bmatrix} 1 & -1 &  3 \\ 0 & 1 & \frac{-5}{3} \\  0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)

* Chú ý: Dạng ma trận bậc thang dòng của 1 ma trận ban đầu không duy nhất

* Định nghĩa: + Biến ứng với 1-leading gọi là biến leading

                         + Biến không leading gọi là hệ số tự do (Free parameter)

* Chú ý: Biến tự do sẽ mang giá trị bất kì, biến leading tính theo biến tự do

* Ma trận bậc thang dòng thu gọn (Reduced row-echelon form)

- Định nghĩa: Ma trận bậc thang dòng thu gọn là ma trận khi xuất hiện 1-leading thì các số cùng cột với 1-leading = 0

- Ví dụ: \(  \begin{bmatrix} 1 & 0 &  * & 0 & * \\ 0 & 1 & * & 0 & * \\  0 & 0 & 0 & 1 & * \\ 0 & 0 & 1 & 0 & * \end{bmatrix} \)

- Cách làm: Các bạn làm tương tự ma trận bậc thu gọn nhưng sẽ biến đổi để các cột cùng 1-leading sẽ bằng 0

Ví dụ: Ở ví dụ trước ta có ma trận sau: \(  \begin{bmatrix} 1 & -1 &  3 \\ 0 & 1 & \frac{-5}{3} \\  0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)

Sau khi biến đổi ma trận qua 1 loạt các bước tương tự thì ma trận này thành bậc thang dòng thu gọn: \(  \begin{bmatrix} 1 & 0 &  0 \\ 0 & 1 & 0 \\  0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)

* Hạng của ma trận (Rank of a matrix)

- Hạng của ma trận bằng số các dòng \(\neq\) 0 trong ma trận bậc thang 

Ví dụ: \(  \begin{bmatrix} 1 & 0 &  0 \\ 0 & 1 & 0 \\  0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \)\(\Rightarrow\) Hạng của ma trận này bằng 2 (do có 2 dòng khác 0)

* Định lý: Nếu 1 HPT có n ẩn, có hạng của ma trận tăng cường bằng r thì số biến tự do là n - r 

III, Hệ tuyến tính thuần nhất (Homogeneous System of Linear equations)

Hệ thuần nhất có dạng: (Trong hệ này, kiểu gì cũng có nghiệm, không có trường hợp vô nghiệm)\[ \begin{cases} a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \cdots + a_{1n}x_{n} = 0 \\ a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \cdots + a_{2n}x_{n} = 0 \\ \vdots \\ a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + \cdots + a_{mn}x_{n} = 0 \end{cases} \]

- Nhận xét: 

    + Trong hệ thuần nhất luôn có nghiệm: \( x_{1} = x_{2} = ... = x_{n} = 0 \), gọi là nghiệm tầm thường (Trivial solution)

    + Nghiệm \(\neq\) 0 gọi là nghiệm không tầm thường (Non-trivial solution)

* Định lý: Trong hệ thuần nhất, nếu số ẩn > số phương trình thì hệ có vô hạn nghiệm

    Chú ý: Hệ có vô hạn nghiệm \(\Leftrightarrow\) Hệ có nghiệm không tầm thường 

Bài tập:

Bài 1: Giải HPT sau

Bài 2: Giải HPT sau

Bài 3: Tìm hạng của ma trận sau

Bài 4: Tìm nghiệm của hệ thuần nhất sau

P/s: Đáp án của bài tập và tài liệu nghiên cứu thêm (nếu cần) được tổng hợp ở link dưới sau:

https://drive.google.com/drive/folders/138_-_dTuxhLfUNPCbdPckHtAZyOxC1zd?usp=sharing

Video bổ trợ bài học này